Связанная настройка и тембр

Автор Уильям А. Сетарес

Оригинал статьи вы найдете по адресу http://sethares.engr.wisc.edu/consemi.html

 

Это полный текст статьи (более или менее), поскольку он впервые появился в экспериментальных музыкальных инструментах. Это послужило катализатором для большей части работы, которая привела к настройке шкалы спектров тембра, и содержит ссылки на компьютерные программы, которые облегчат вам рисовать кривые диссонанса самостоятельно. Недавно Джеймс Форрест создал Java applet для интерактивного исследования кривых диссонанса.

«Очевидно, что тембр инструмента сильно влияет на настройку и масштабирование звука на этом инструменте»

В. Карлос

Вступление

Если вы когда-либо пытались играть музыку в странных настройках (где «странно» означает что-либо, кроме 12 тонов одинакового темперамента), то вы, вероятно, заметили, что определенные тембры (или тона) хорошо звучат в некоторых масштабах, а не в других. 17 и 19 одинакового темперамента легко играть, например, потому что многие из стандартных тембров в синтезаторах прекрасно звучат в этих настройках. Я помню, когда я впервые играл в 16 тонах. Мне пришлось прослушивать сотни звуков, прежде чем я нашел несколько хороших тембров. Когда я попытался сыграть в 10 тонах, ни одна из тембров в моих синтезаторах не звучала хорошо. В этой статье объясняется, почему это происходит, и показано, как создавать тембры и шкалы, которые дополняют друг друга. Это предлагает способ создания новых музыкальных инструментов с необычными тембрами, которые могут играть созвучно в необычных масштабах.

Принцип локального созвучия описывает связь между тембром звука и настройкой (или шкалой), в которой тембр будет звучать наиболее согласным. Принцип отвечает на два дополнительных вопроса. Учитывая тембр, какой масштаб он должен играть? Учитывая масштаб, как выбрать согласные тембры? Возможность ответить на такие вопросы, скорее всего, повлияет на то, как мы разрабатываем новые музыкальные инструменты.

Презентация начинается в следующем разделе с обзора работы нескольких акустиков, которые показали, что люди последовательно оценивают созвучие интервалов, состоящих из чистых синусоидальных волн.Эти суждения усредняются в «кривой созвучия», которая используется для вычисления созвучия сложных тембров. Результаты таких расчетов хорошо согласуются с нормальным (музыкальным) понятием созвучия при применении к гармоническим тембрам. Таким образом, унисоны, октавы, пятые и четвертые являются очень согласными, в то время как секунды и седьмые относительно диссонанты.

Конечно, эта мера созвучия также может быть применена к другим (не гармоническим) тембрам, а последующие разделы показывают, как создавать тембры и масштабы. Ниже приводятся несколько конкретных примеров, в том числе поиск шкал для негармонических тембров (естественные резонансы однородного пучка, «растянутые» и «сжатые» тембры, тембры ЧМ с непересекающимися несущими для коэффициентов модуляции) и поиск тембров для равных темперированных масштабов. Эта статья представляет собой менее техническую презентацию моей статьи «Локальный резонанс и взаимосвязь между тембром и шкалой», в котором содержатся математические данные.

Что конкретно означает соответствие?

Стандартное музыкальное определение (см. Ваш любимый словарь) заключается в том, что музыкальный интервал является согласным, если он звучит приятным или спокойным; у согласного интервала мало или вообще нет музыкального напряжения или тенденции к изменению. С другой стороны, диссонанс – это степень, в которой интервал звучит неприятно или грубо; диссонантные интервалы обычно ощущаются напряженными и неразрешенными.
В «О ощущениях тонов» Гельмгольц предлагает физиологическое объяснение созвучия, основанное на феномене ударов. Если два тона звучат почти на одной и той же частоте, то происходит различное избиение, которое происходит из-за помех между двумя тонами (тюнеры для фортепиано используют этот эффект регулярно). Избиение становится медленнее, когда два тона движутся ближе друг к другу и полностью исчезают, когда частоты одинаковы. Как правило, медленные удары воспринимаются как приятное вибрато, в то время как быстрые удары, как правило, грубые и раздражающие. Вспоминая, что любой тембр можно разложить на компоненты синусоидальной волны, Гельмгольц предположил, что диссонанс между двумя тонами обусловлен быстрым избиением различных компонентов синусоидальной волны. Согласие, по словам Гельмгольца, заключается в отсутствии таких диссонансных ударов.

Совсем недавно, Plomp и Levelt (полные ссылки в конце) исследовали созвучие экспериментально, путем генерации пары синусоид и просят добровольцев, чтобы оценить их с точки зрения их относительной созвучия. Несмотря на значительную изменчивость ответов, существовала простая и ясная тенденция. В унисон, созвучие было максимальным. По мере увеличения интервала, было оценено все меньше и меньше согласных, пока в какой-то момент не был достигнут минимум. После этого созвучие увеличилось, но не дошло до созвучия унисона. Plomp и Levelt назвали это тональное созвучие, чтобы отличить его от музыкального созвучия и от теории биений Гельмгольца.

На приведенном выше рисунке показана усредненная версия кривой диссонанса (которая является просто кривой созвучия, перевернутой вверх дном), в которой диссонанс начинается с нуля (в «интервале» унисона) быстро возрастает до максимума, а затем возвращается обратно к нулю. Самая удивительная особенность этой кривой состоит в том, что музыкально согласные интервалы не различаются – на четвертой, пятой или даже октаве нет провала кривой.

Рисунок 2: гармонический тембр с шестью частицами используется для генерации кривой диссонанса на рисунке 3. Амплитуды снижаются со скоростью 0,88. Частотная ось нормирована так, что частота корня равна единице.

Для того, чтобы объяснить восприятие музыкальных интервалов, Plomp и Levelt отмечают, что большинство традиционных музыкальные тона имеют спектр, состоящий из корня или основной частоты, и ряд синусоидальных частичных, которые происходят в целых кратных основных. На рисунке 2 изображен один такой тембр. Если этот тембр прозвучит с разным интервалом, диссонанс интервалов может быть рассчитан путем суммирования всех диссонансов между всеми парами парциальных чисел. Выполнение этого расчета для диапазона интервалов приводит к кривой диссонанса. Например, кривая диссонанса, сформированная тембром на рисунке 2, показана ниже на рисунке 3.

Обратите внимание, что эта кривая содержит значительные провалы на многих интервалах 12-тонных равных темперированных масштабов. Самый согласный интервал – унисон, за которым следует октава. Далее пятый, затем четвертый, основной третий, основной шестой и второстепенный третий. Они согласуются со стандартным музыкальным использованием и опытом. Глядя на данные, более подробно показано, что минимумы не происходят точно на этапах шкалы 12-тонных равных темперированных масштабов. Скорее, они встречаются в «близких» простых соотношениях 1: 1, 2: 1, 3: 2, 4: 3, 5: 4 и 5: 3 соответственно, которые являются точками местоположения заметок в «справедливо интонированном» (см. Уилкинсон). Таким образом, аргумент, основанный на тональном согласии, согласуется с использованием только интонации (шкалы на основе интервалов с простыми целыми отношениями), по крайней мере для гармонических тембров.

Возможно, наиболее ярким аспектом рисунка 3 является то, что большинство масштабных шагов крупного масштаба примерно совпадают с локальными минимумами кривой диссонанса. Таким образом, ухо воспринимает интервалы, которые встречаются в точках локальных минимумов кривой диссонанса как относительно согласные. Это наблюдение составляет основу принципа местного созвучия:

Говорят, что тембр и масштаб связаны между собой, если тембр генерирует кривую диссонанса, локальные минимумы которой возникают в положениях шкалы.

Это понятие родства масштабов и тембров предполагает два интересных направления исследования. Учитывая произвольный тембр T (возможно, тот, чей спектр не состоит из стандартного гармонического ряда), легко нарисовать кривую диссонанса, порожденную T. Локальные минимумы этой кривой происходят при значениях, которые являются хорошими кандидатами для заметок масштаба, поскольку они являются локальными точками минимального диссонанса (т.е. максимального созвучия). Это может быть полезно для экспериментального музыканта. Представьте, что вы создаете новый инструмент с необычным (т. Е. Не гармоническим) тональным качеством. Как настроить прибор? В какой масштаб должны быть настроены пальцевые отверстия (или лады или что-то еще)? Принцип местного созвучия отвечает на этот вопрос конкретным образом.

В качестве альтернативы, учитывая желаемый масштаб (возможно, тот, который делит октаву на n равных частей, или тот, который не основан на октаве), есть тембры, которые будут генерировать кривую диссонанса с локальными минимумами точно в градусах градуса. Это полезно для музыкантов и композиторов, которые хотят играть в нестандартных масштабах, таких как 10-тонный одинаковый темперамент.

Как показывает вступительная цитата, это не первый случай, когда была изучена связь между тембром и масштабом. Краткая записка Пирса сообщила о синтезе тембра, разработанного специально для воспроизведения в 8-точечном равном темпе. Пирс приходит к выводу: «… предоставляя музыку тонами с точно определенными, но негармоническими частицами, цифровой компьютер может освобождать музыку от тирании 12 тонов, не бросая созвучие за борт». Slaymaker исследовал тембры с растянутыми (и сжатыми) частицами, а Мэтьюз и Пирс исследовали их потенциальные музыкальные цели. Недавно Мэтьюз и Пирс рассмотрели шкалу с шагами на основе тринадцатого корня из трех, а не стандартным двенадцатым корнем из двух, который предназначен для воспроизведения тембрами, содержащими только нечетные частичные. Карлос исследовал шкалы для негармонических тембров путем наложения их спектров и поиска интервалов, в которых частичные совпадают, что сводит к минимуму биения (или шероховатость) звука. Это похоже на настоящий подход, но мы предоставляем систематический метод, который можно использовать для поиска шкал для данного тембра или для поиска тембров для заданного масштаба.

Было бы наивно предполагать, что по-настоящему музыкальные свойства можно измерить как простое тональное созвучие. Даже в сфере гармонии (и игнорируя музыкально важные аспекты, такие как мелодия и ритм), созвучие – это не вся история. Действительно, гармоническая прогрессия, которая была бы однородно согласной, вероятно, была бы скучной. Гармонический интерес возникает из сложного взаимодействия диссонанса (беспокойства) и созвучия (отдыха). Возможно, самым важным использованием принципа местного согласия является предоставление рекомендаций по изучению новых тональностей и настроек.

Как рассчитать кривые диссонанса

Если вы думаете, что для рисования кривых диссонанса должно быть много расчетов, вы правы. Это идеальная работа для компьютера.

Те, кто знаком с MATLAB, BASIC или родственными компьютерными языками, возможно, захотят посмотреть на программу. Программа работает путем инкапсуляции кривой согласных Plomp-Levelt в математическую функцию, состоящую из суммы экспонент. I и J петли вычислить диссонанс тембра на определенном интервале альфа и альфа – петля проходит через все интервалы, представляющие интерес. Первые несколько строк устанавливают частоты и амплитуды тембра. Переменная n должна быть равна числу частот в тембре. Выполнение программы as создает данные диссонанса на рисунке 3 для тембра на рисунке 2. Чтобы изменить начальную и конечную точки интервалов, используйте startint и endint. Чтобы сделать интервалы друг от друга, увеличьте inc. Все значения диссонанса хранятся в векторной диссипации. Не меняйте dstar или любую из переменных с числами.

К счастью, есть некоторые общие закономерности в том, как могут выглядеть кривые диссонанса. Давайте рассмотрим простой тембр только с двумя частицами. Как показано на рисунке 4, кривая диссонанса может иметь три разных контура: если частичные части очень близки друг к другу, тогда нет точек локального созвучия, если частичные части широко разделены, то есть два локальных минимума, если они находятся между ними есть только один. Используя программу, вы можете воспроизвести эти кривые (или, конечно, создать свои собственные). Установите n = 2 и freq ( 1) = 500, freq (2) = 505, amp (1) = 10, amp (2) = 10. Это дает цифру 4 (a), где частичные значения слишком близки, чтобы точка локального созвучия. Установка freq ( 2) = 1,15 * 500 показывает, что точка локального созвучия происходит с интервалом 1,15, как в 4 (b). Наконец, установка freq ( 2) = 1,86 * 500 дает 4 (c), с двумя точками местного созвучия. Крутой минимум происходит с интервалом 1,86. Обратите внимание, что второй минимум неглубокий и является результатом большого расстояния между частицами тембра.

Вы можете прослушать цифру 4 с помощью синтезатора или тонального генератора. Сначала найдите тон, максимально приближенный к синусоидальной волне. (Если вы используете машину на основе образца без такой скромной формы сигнала, попробуйте образец органа или флейты). Назначьте два тона для каждого нажатия клавиши, один на частоте f и один на седьмой выше f. (Основной 7-й – интервал 1,86, как и в 4 (с)). Слушайте созвучие различных интервалов в этом тембре. Первые несколько очень грубые. Следующие несколько гармоничны, но не неприятны. Затем диссонанс поднимается и резко падает, на интервале 1,86. Октава, с интервалом в 2, звучит очень диссонирующим и неоклассическим. Для этого тембра основной 7-й играет роль, обычно занимаемую октавой, по крайней мере, с точки зрения созвучия. Это то, что вы можете услышать для себя.

Свойства кривых диссонанса

Вот некоторые общие свойства кривых диссонанса. Предположим, что тембр F имеет n парциальных чисел, расположенных на частотах (f1, f2, …, fn ).

Свойство 1: унисон – это глобальный минимум (минимально возможное значение кривой диссонанса). Все остальные минимумы являются локальными.
Свойство 2: по мере увеличения интервала диссонанс должен приближаться к значению, которое является не более чем внутренним диссонансом тембра.
Свойство 3: кривая диссонанса, генерируемая F, имеет не более 2n (n-1) локальных минимумов, которые расположены симметрично (по логарифмическому масштабу), так что половина происходит с интервалами между 0 и 1, а половина приходится на интервалы между 1 и бесконечностью.
Свойство 4: до половины локальных минимумов происходят с интервалами a, для которых a = fi / fj, где fi и fj – произвольные частицы F. До половины локальных минимумов являются мелким типом рисунка 4 (c).

 

Четвертое свойство особенно интересно, потому что оно говорит о том, что точки локального созвучия имеют тенденцию возникать с интервалами, которые просто определяются частицами тембра. На рисунках 4 (b) и 4 (c), например, локальные минимумы находятся при a = 1,15 и a = 1,86 соответственно, что является отношением между двумя частичными. Музыкально полезная информация обычно содержится в промежутках между 1 / m и m для некоторого небольшого m. Неглубокие минимумы стремятся к нулю для тембров с более чем несколькими частицами. Рисунок 3, например, состоит исключительно из локальных минимумов, вызванных совпадающими частицами. Таким образом, кривые диссонанса обычно имеют локальные минимумы менее 2n (n-1). На рисунке 3, например, имеется только 7 локальных минимумов в интересующей октаве, что значительно меньше теоретического максимума 84. Достичь этой границы можно. Например, тембр (f, 2f, 3f) в диапазоне 0 <a <6 имеет все 12 возможных минимумов.

От тембра до гаммы

В этом разделе приводятся примеры шкал, подходящих для разных тембров, и объясняется различные сопутствующие явления, связанные с принципом локального созвучия.

Гармонические тембры

Точки локального созвучия для гармонического тембра с частичными в (f, 2f, …, 7f) расположены с простыми целыми отношениями. Результаты предыдущего раздела объясняют это элегантно. Кандидаты локального созвучия находятся с интервалами a, для которых fi = a fj. Так как частичные числа имеют целочисленные кратные f, a = n / m для целых чисел n и m между 1 и 7. Принцип локального созвучия говорит о том, что наиболее подходящие масштабные тона для гармонических тембров расположены на таком, и действительно, все точки локального созвучия на рисунке 3 встречаются при таких значениях. В следующей таблице сравниваются интервалы в шкале 12, интервалы в простом масштабе и минимумы кривой диссонанса, рассчитанные на тембр с девятью гармоническими частицами.

Замечания о равном закаленном музыкальном масштабе по сравнению с минимумами кривой диссонанса для 9 частичного гармонического тембра и по сравнению с масштабной шкалой Just Intonation от Wilkinson
Заметка
название
12-Tet
интервал
минимумы из
Диссонансной
кривой
Просто
Интервалы
  С   1,0   1,0 1: 1   унисон
  C #   1,059 16:15   просто полутон
  D   1,122   1.14 (8: 7 = sept . Maj.2 ) 9: 8   просто все тон
  D #   1,189   1,17 (7:6 = sept. min 3)
  1.2 (6: 5) 6: 5 минор 3
  Е   1,26   1,25 (5: 4) 5: 4 мажор 3
  F   1,335   1,33 (4: 3) 4: 3 идеальный 4
  F #   1,414   1.4 (7:5 = sept. tritone) 45:32 тритон
  г   1,498 1,5 (3: 2) 3: 2 отлично 5
  Г#   1,587 1,6 (8: 5) 8: 5 минор 6
  1,682 1,67 (5: 3) 5: 3 мажор 6
  A #   1,782 1,75 (7:4 = sept. min. 7) 16: 9 минор 7
  В   1,888 1,8 (9:5 = large just maj. 7) 15: 8 мажор 7
  С   2,0   2,0 2: 1 октава

В некотором смысле это обеспечивает психоакустическую основу для справедливо интонированных масштабов. С точки зрения тонального созвучия, ухо довольно нечувствительно к небольшим отклонениям по частоте, а 12-тональная равномерная настройка может рассматриваться как приемлемый компромисс между желанием созвучия играть в справедливо интонационных масштабах и практикой стандартизации инструмента.

Растянутые и сжатые тембры

Slaymaker и Mathews and Pierce исследовали тембры с частицами в fj = f Alog (j ), где log берется на основании 2. Когда A = 2, это просто гармонический тембр, так как fj = f 2log (j) = jf . Когда A <2, частоты тембра сжимаются, а при A> 2 частичные растягиваются. Самым ярким аспектом сжатых и растянутых тембров является отсутствие реальной октавы. Это ясно видно из кривых диссонанса, которые нанесены на четыре панели фигуры для A = 1,87, 2,0, 2,1 и 2,2 соответственно. В каждом случае частотное соотношение A играет роль октавы, которую Mathews and Pierce называют псевдооктавой. Реальные октавы кажутся диссонированными и неразрешенными, когда А отличается от 2, в то время как псевдооктавы очень согласуются. Что еще более важно, каждая кривая имеет аналогичный контур. Точки местного созвучия встречаются на (или вблизи) двенадцати равных ступенях псевдооктав. «Псевдо-пятые», «псевдо-четвертые» и «псевдо-третья» легко различимы. Это говорит о том, что большая часть теории и практики музыки может быть перенесена на сжатые и растянутые тембры при воспроизведении в сжатом и растянутом масштабе

Ксилофонная настройка

Хорошо известно, что ксилофоны и другие инструменты, состоящие из лучей со свободными концами, имеют частичные части, которые не гармонично связаны. Принцип локального созвучия предполагает, что существует естественный масштаб, определяемый тембром ксилофона, в котором он будет казаться наиболее согласным. Первые семь частот идеального пучка, который свободно вибрирует с обоих концов, даны Флетчером и Россинг как

f, 2.758f, 5.406f, 8.936f, 13.35f, 18.645f, 24.82 f.

Ниже показаны две октавы кривой диссонанса для этого тембра. Кривая имеет многочисленные минимумы, которые неравномерно расположены на указанных частотах.

Это говорит о том, что это будет самая естественная настройка звучания для ксилофона, по крайней мере, с точки зрения созвучия.

Настройка FM-тембров

Одним из распространенных методов синтеза звука является частотная модуляция (FM) (см. Chowning). Не интегрированные отношения несущей и модулирующих частот дают негармонические тембры, которые обычно отнесены к ударным или колоколообразным пятнам, потому что они звучат диссонантно при воспроизведении в традиционных 12-тональных гармониях. Принцип локального созвучия предполагает, что такие звуки могут играть более гармонично в масштабах, которые определяются самими тембрами. Java applet Джеймса Форреста позволяет мгновенно и практично исследовать тембры FM и их кривые диссонанса. Программа также отображает звуки на клавиатуре компьютера, чтобы их было легко воспроизвести.

Например, рассмотрим простой FM-сигнал с отношением несущей к модуляторам c: m от 1: 1,4 и модулирующим индексом I = 2. Частоты и амплитуды результирующего тембра приведены на следующем рисунке.

Ниже приведены три октавы кривой диссонанса для этого тембра. Соответствующие масштабные заметки для этого тембра встречаются в минимумах кривой диссонанса, которые можно прочитать непосредственно из рисунка.

От шкалы до тембра

Оптимальный масштаб для данного тембра определяется просто путем нахождения локальных минимумов кривой диссонанса. Дополнительная проблема поиска оптимального тембра для данного масштаба не так проста. Нет единого «лучшего» тембра для заданного масштаба. Но часто бывает возможно найти «локально лучшие» тембры, которые можно указать как решение определенной проблемы оптимизации. Для некоторых классов шкал (например, с равными темперальными шкалами m-tone) свойства кривой диссонанса могут быть использованы для эффективного решения проблемы.

Выбор тембра, как проблема оптимизации

Любой набор тонов шкалы m задает набор интервалов m-1 a1, a2, …, am-1. Наивный подход к проблеме выбора тембра состоит в том, чтобы выбрать набор из n парциальных чисел (f1, f2, …, fn ) и объемы (или амплитуды) (v1, v2, …, vn ), чтобы минимизировать сумму диссонансов по интервалам m-1. К сожалению, это может привести к «тривиальным» тембрам двумя способами. Нулевой диссонанс может быть достигнут путем установки всех амплитуд в нуль или путем предоставления ai стать сколь угодно большим (свойство отзыва 2). Чтобы избежать таких тривиальных решений, необходимы некоторые ограничения:

Ограничение 1: Не допускайте изменения амплитуд.
Ограничение 2: Заставить все частоты лежать в заданной области.

Пересмотренная (ограниченная) оптимизация заключается в следующем: с фиксированными амплитудами выберите набор из n частот (f1, f2, …, fn ), лежащих в диапазоне интересов, чтобы минимизировать стоимость

C = w1 (сумма диссонансов) + w2 (количество точек)

над интервалами m-1 локальных минимумов, где w1 и w2 – весовые коэффициенты. Сведение к минимуму этой стоимости C приводит к тому, что шаги шкалы на локальных минимумах также минимизируют значение кривой диссонанса. Экспериментально мы обнаружили, что весовые коэффициенты около w1 / w2 = 1000/1, по-видимому, дают разумные результаты.

Минимизация стоимости C является n-мерной оптимизационной задачей с очень сложной поверхностью ошибки. К счастью, такие проблемы могут быть решены адекватно (хотя и не обязательно оптимально) с использованием различных методов «случайного поиска», таких как «имитированный отжиг» (см. Kirkpatrick) или «генетический алгоритм» (см. Goldberg).

Генетический алгоритм (GA), похоже, работает хорошо. GA требует, чтобы проблема была закодирована в конечной строке, называемой «ген», и чтобы была определена функция «пригодности». Гены для задачи выбора тембра формируются путем конкатенации двоичных представлений fi. Функция пригодности гена (f1, f2, …, fn ) измеряется как стоимость стоимости J выше, а тембры оцениваются как «более подходящие», если стоимость C ниже. GA ищет n-мерное пространство, измеряющее пригодность тембров. Наиболее подходящие сочетаются (посредством процедуры «спаривания») с «дочерними тембрами» для следующего поколения. По мере прохождения поколений алгоритм стремится сходиться, а наиболее подходящий тембр является хорошим кандидатом для минимизатора C. Действительно, GA имеет тенденцию возвращать тембры, которые хорошо соответствуют желаемому масштабу в том смысле, что шаги шкалы имеют тенденцию к возникновению в точках местного созвучия, а общий диссонанс на этапах шкалы низкий. Например, когда задана 12-точечная равная темперальная шкала, GA сходится почти гармоническими тембрами довольно часто. Это хороший признак того, что алгоритм работает и что свободные параметры выбраны разумно.

Тембры для произвольной шкалы

В качестве примера применения генетического алгоритма к проблеме выбора тембра была выбрана желаемая шкала с шагами шкалы при 1, 1.1875, 1.3125, 1.5, 1.8125 и 2. Набор амплитуд был выбран как 10, 8.8, 7.7, 6.8, 5.9, 5.2, 4.6, 4.0, и GA было разрешено искать наиболее подходящий тембр. Частоты были закодированы как 8-битные двоичные числа с 4 битами для целочисленной части и 4 бита для дробной части. Лучшие три тембра из 10 пробных прогонов алгоритма были

(f, 1.8f, 4.9f, 14f, 9.87f, 14.81f, 6.4f, 12.9f)

(f, 1.5f, 3.3f, 10.3f, 7.8f, 7.09f, 3.52f, 3.87f)

(f, 2.39f, 9.9275f, 7.56f, 11.4f, 4.99f, 6.37f, 10.6f)

Ниже показана кривая диссонанса лучшего тембра. Ясно, что эти тембры связаны с указанным масштабом, поскольку точки локального созвучия происходят точно на шагах шкалы.

Тембры для равных темпераментов

Для определенных масштабов, таких как m-tone, равные градуированным масштабам, свойства кривой диссонанса могут быть использованы для быстрого и легкого создания тембров, тем самым минуя необходимость запуска программы оптимизации. Напомним, что отношение между последовательными шагами шкалы в 12 тоном равноценности является двенадцатым корнем из 2 (около 1.0595). Аналогично, у m-тона одинакового темперамента отношение b = mth корень из 2 между последовательными шагами шкалы. Рассмотрим тембры, для которых последовательные частичные являются отношениями степеней b. Каждая частица такого тембра, будучи транспонированной в ту же самую октаву, что и фундаментальная, лежит на заметке масштаба. Говорят, что такой тембр индуцируется равным темперальным масштабом m-тона. Например, гармонические тембры индуцируются тембрами для справедливо намеченного масштаба.

Индуцированные тембры – хорошие кандидатские решения проблемы оптимизации. Напомним из свойства 4, что точки локального созвучия, как правило, расположены с интервалами a, для которых fi = a fj, где fi и fj являются частичными от тембра F. Так как отношение любой пары парциальных чисел в индуцированном тембре является bk для некоторого целого k, кривая диссонанса будет иметь тенденцию иметь точки локального созвучия при таких соотношениях: эти отношения происходят точно на шагах шкалы. Такие тембры, как правило, сводят к минимуму стоимость C.

Это понимание может быть использовано двумя способами. Во-первых, его можно использовать для уменьшения пространства поиска в подпрограмме оптимизации. Вместо поиска по всем частотам в ограниченной области поиск нужно выполнять только по индуцированным тембрам. Более просто, задача выбора тембра для равных темперированных масштабов может быть решена путем тщательного выбора индуцированных тембров.

В качестве примера рассмотрим проблему создания тембров, которые будут воспроизводиться в 10-ти тоном одинакового темперамента. 10-тон часто считается одним из худших темпераментов для гармонической музыки, поскольку этапы десяти точечной шкалы отличаются от (малых) целых коэффициентов, подразумевая, что гармонические тембры очень диссонансные. Принцип локального созвучия утверждает, что эти интервалы станут более согласными, если будут воспроизводиться правильно спроектированными тембрами. Вот три тембра, вызванные 10-тонным равным тембром. Пусть b = 10-й корень из 2.

(f, b10 f, b17 f, b20 f, b25 f, b28 f, b30 f)

(f, b7 f, b16 f, b21 f, b24 f, b28 f, b37 f)

(f, b7 f, b13 f, b17 f, b23 f, b28 f, b30 f)

Кривые диссонанса этих тембров

Они действительно согласны, когда играют на 10-тонных равных темперах. Неудивительно, что одни и те же звуки звучат довольно беспорядочно, когда играют в стандартной 12-тональной шкале. Аналогичные аргументы предполагают, что созвучие 12-тональной равномерной закаленной настройки может быть максимизировано путем перемещения партикулов от гармонического ряда до ряда на основе b = двенадцатого корня из 2.

Новые инструменты, хоть какие-то?

Любой произвольный тембр (набор частот и амплитуд) может быть реализован с помощью компьютера. Всегда ли можно создавать акустические инструменты, которые будут иметь данный тембр? Как насчет латуни? Флетчер и Россинг заявляют, что «если факельная часть рога простирается на разумную долю от общей длины, например, около одной трети, то существует еще достаточная геометрическая гибкость, позволяющая изменять частоты всех режимов практически по любой величине желательно «. С помощью струнных инструментов трюк состоит в том, чтобы найти строку переменной толщины, которая будет вибрировать с частицами на желаемых частотах. Частицы головки барабана могут быть настроены с помощью весовых или слоистых секций головки барабана. Частицы тростниковых инструментов могут управляться контуром отверстия, а также формой и размером тоновых отверстий. Колокола могут быть настроены путем изменения формы и толщины стен. Точно так же интересно спроектировать акустические инструменты с заданными тембрами.

Более простой подход – синтезировать тембры. На рисунке выше гармоническая форма волны (которая может быть образцом акустического инструмента) преобразуется в ее составляющие частоты. Частоты изменяются систематически, что отображает частичные части в указанный тембр, а затем преобразуется обратно в полезную форму волны. Результатом является негармонический тембр с большей частью характера оригинального инструмента. Это ключевая идея спектральных отображений.

Принцип локального созвучия показывает, как представить себе несколько различных настроенных оркестров, цифровых или акустических, каждый с инструментами, разработанными с определенным тембром, и воспроизводимыми в соответствующей настройке. Как насчет группы инструментов, настроенных на растянутые или сжатые настройки? Оркестр оптимизирован для семи или десяти тон одинаковых темпераментов? Духовой инструмент с тембром барабана? Труба с гармонической структурой стального луча? Кривая созвучия показывает, как правильно настроить инструмент. Использование компьютера для создания тембров дает возможность прослушивать дизайн до его создания, экономя время на разработку и спецификацию нетрадиционных инструментов.

Выводы

Принцип локального созвучия показывает, как соотносить тембры и настройки. Были предложены два дополнительных вычислительных метода: способ найти согласные шкалы с заданным тембром и способ найти согласные тембры с заданной шкалой. Одним из следствий является то, что музыкальное понятие созвучия интервалов, таких как октава и пятое, можно рассматривать в результате тембра инструментов, которые мы обычно используем. Справедливо введенные шкалы можно аналогичным образом рассматривать как следствие гармонических тембров музыкальных инструментов.

Появление недорогих музыкальных синтезаторов, способных реализовывать произвольные звуки, позволяет исследовать негармонические акустические пространства. Принцип локального созвучия дает рекомендации о том, как разумно соотносить настройку и тембр. Более амбициозно, легко представить себе новые негармонические инструменты, способные воспроизводить музыку созвучного звука. Вычислительные методы этой статьи позволяют специфицировать тембры и настройки для таких инструментов.

Для дальнейшего чтения …

У. Карлос, «Настройка: на перепутье», Computer Music Journal, Spring, 29-43 (1987).

JM Chowning , «Синтез сложных звуковых спектров с помощью частотной модуляции», J. Audio Engineering Society, Vol. 21, 526-534 (1973).

NH Fletcher и TD Rossing , The Physics of Musical Instruments, Springer- Verlag (1991).

С. Голдберг, Генетические алгоритмы поиска, оптимизации и машинного обучения, Эддисон-Уэсли, Нью-Йорк, Нью-Йорк (1989)

Х. Гельмгольц, О ощущениях тонов, Довер, Нью-Йорк (1954).

С. Киркпатрик, CD Gelatt , М. П. Векки , “Оптимизация с помощью имитационного отжига”, Science, vol. 220, No., 4598, май (1983).

М. В. Мэтьюз и Дж. Р. Пирс, “Гармония и негармонические частицы”, журнал Акустического общества Америки 68, 1252-1257 (1980).

MV Mathews, JR Pierce, A. Reeves и LA Roberts, «Теоретические и экспериментальные исследования шкалы Болена-Пирса», журнал «Акустическое общество Америки». 84, 1214-1222 (1988).

JR Pierce, «Достижение согласия в произвольных масштабах», журнал «Акустическое общество Америки». 40, 249 (1966).

Р. Plomp и WJM левелевский , “Тональное Созвучие и Critical Bandwidth,” Журнал Акустического общества America.38, 548-560 (1965).

WA Sethares , «Локальный резонанс и взаимосвязь между тембром и шкалой»

FH Slaymaker , «Аккорды от тонов, растянувшихся на частицах», журнал «Акустическое общество Америки». 47, 1469-1571 (1968).

SR Wilkinson, Tuning In , Hal Leonard Books, (1988).

Для дальнейшего прослушивания …

Взгляните на ХЕNTONALITY, где вы найдете музыкальные композиции, которые ясно демонстрируют как эти идеи трансформируются в звук. Также есть несколько семплов для скачивания в формате mp3 по этой ссылке.